보이지 않는 울퉁불퉁함이 줄을 얼마나 더 쓰게 할까요
풀밭에 무릎을 꿇고 긴 줄을 쭉 풀어 둡니다. 오늘은 작은 피난처를 둘러야 해요. 평평한 땅이면 대충 감이 오는데, 발밑이 살짝살짝 기울어져 보여서 줄이 더 들까 궁금해집니다.
이 줄 문제는 “같은 넓이를 감싸려면, 테두리는 얼마나 짧을 수 있나”랑 닮아 있습니다. 예전 규칙은 땅이 어디든 반듯하다는 보장이 있어야 잘 맞았어요. 근데 실제 땅은 멀쩡한 곳 사이사이에 골칫덩이가 섞이죠.
새 생각은 “여기저기 나쁜 정도를 합산해 계산서처럼 본다”는 겁니다. 군데군데 움푹한 곳이 얼마나 심한지 전부 더해, 딱 한 값으로 잡아두는 거예요. takeaway, 평균으로 모자람이 작으면, 줄도 이상적인 경우에서 크게 벗어나기 어렵습니다.
말로만 두지 않고, 말뚝 하나를 기준으로 고리를 조금씩 키워 봅니다. 안쪽 넓이가 늘 때 줄 길이가 얼마나 빨리 늘어나는지 보는 거죠. 그 “추가로 부푸는 양”은 아까 합산한 값이 정한 한도 안에 묶이고, 같은 넓이라도 기준점에서의 거리 차이도 그 한도 안에서만 흔들립니다.
이번엔 울타리 안에서 해야 한다고 해볼게요. 안으로 파인 곳이 없는 매끈한 울타리라서, 고리를 키워도 방향이 갑자기 뒤집히진 않습니다. 그래서 평균으로 모자람을 잡아두면, 줄이 필요 이상으로 길어지는 정도도 여전히 제한됩니다. 비교 상대는 “벽 하나를 따라 붙여 가장 잘 두르는 모양”이 됩니다.
땅의 기본 휨이 평평하거나 안장처럼 벌어지는 쪽이면, 공간이 끝없이 이어져도 크기가 너무 커지지 않게만 잡아두면 이 제한이 잘 유지됩니다. 그 휨이 그릇처럼 모이는 쪽이면, 폭이 너무 넓지 않게 하고 평균 모자람도 충분히 작아야 합니다. 그 조건 아래에선 “전체 크기 대비 둘레 효율”도 이상적인 기준과 비교하는 부등식으로 통제됩니다. 줄을 다시 감아 보니, 문제는 한 군데의 흠이 아니라, 흠의 총합이었네요.